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<!DOCTYPE html>

<title>Triangle de Kobon</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Triangle de Kobon</span></h1>

</header>

</div>

<p>Le <b>problème des triangles de Kobon</b> est un <a href="Probl%C3%A8mes_non_r%C3%A9solus_en_math%C3%A9matiques" title="Problèmes non résolus en mathématiques">problème non résolu</a> de <a href="G%C3%A9om%C3%A9trie_combinatoire" class="mw-redirect" title="Géométrie combinatoire">géométrie combinatoire</a> qui fut énoncé pour la première fois par le mathématicien Kobon Fujimura<sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>. Le problème pose la question suivante : quel est le nombre maximal de <a href="Triangle" title="Triangle">triangles</a> distincts pouvant être construits à l'aide d'un nombre donné de <a href="Segment_(math%C3%A9matiques)" title="Segment (mathématiques)">segments de droite</a> ?

</p><p>Le problème fut popularisé par <a href="Martin_Gardner" title="Martin Gardner">Martin Gardner</a> en 1983<sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Majorant"><a href="Majorant" class="mw-redirect" title="Majorant">Majorant</a></h2></div>

<p>Saburo Tamura a montré<sup id="cite_ref-3" class="reference"><a href="#cite_note-3"><span class="cite-bracket">[</span>3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> que pour <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"></span> segments de droite, le nombre maximal de triangles qu'il est possible de construire, noté <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(n)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(n)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c59fef24b2be0dee197fa38bdb47b888ded19c2f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.268ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(n)}" loading="lazy"></span>, est inférieur ou égal à <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left\lfloor {\frac {n\left(n-2\right)}{3}}\right\rfloor }">

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left\lfloor {\frac {n\left(n-2\right)}{3}}\right\rfloor }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/821ccbe314ca11b9fd7fed4a13af36c459288fde.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:12.535ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle \left\lfloor {\frac {n\left(n-2\right)}{3}}\right\rfloor }" loading="lazy"></span> (<span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lfloor ~\rfloor }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lfloor ~\rfloor }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4587f2fc3dbd21bb4c4dac71dc934db4eb22499b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.645ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \lfloor ~\rfloor }" loading="lazy"></span> désigne la fonction <a href="Partie_enti%C3%A8re" class="mw-redirect" title="Partie entière">partie entière</a>).

</p><p>En 2007, Johannes Bader et <a href="Gilles_Cl%C3%A9ment" title="Gilles Clément">Gilles Clément</a> ont affiné cette borne<sup id="cite_ref-4" class="reference"><a href="#cite_note-4"><span class="cite-bracket">[</span>4<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> : si <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"></span> est <a href="Congruence_sur_les_entiers" title="Congruence sur les entiers">congru</a> à 0 ou 2 modulo 6 alors <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(n)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(n)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c59fef24b2be0dee197fa38bdb47b888ded19c2f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.268ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(n)}" loading="lazy"></span> est même strictement inférieur à <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left\lfloor {\frac {n\left(n-2\right)}{3}}\right\rfloor }">

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left\lfloor {\frac {n\left(n-2\right)}{3}}\right\rfloor }</annotation>

</semantics>

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Solutions_connues">Solutions connues</h2></div>

<p>Des solutions maximales, égales au majorant, sont connues pour 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 13, 15 et 17 droites. Dans les autres cas, le nombre maximal de triangles n'est pas connu, même si l'on connait des configurations qui se rapprochent de ce majorant. Pour 10 et 11 droites, la meilleure solution connue n'est que d'un triangle de moins que la borne donnée par Tamura. Pour 12, 16 et 18 droites, deux triangles de moins.

</p><p>Le tableau suivant résume, pour les premières valeurs du nombre de segments, la valeur du majorant ainsi que celle de la meilleure solution connue (indiquée en gras lorsqu'il s'agit d'une solution égale au majorant, donc réellement maximale).

</p>

<th style="text-align:left;">Nombre de droites</th>

<th style="width:2em;">21

</th></tr>

<tr>

<th style="text-align:left;">Majorant

</th>

<td>133

</td></tr>

<tr>

<th style="text-align:left;">Meilleure solution connue

</th>

</td></tr></tbody></table>

<p>C'est la suite <a href="https://oeis.org/A006066" class="extiw external" title="oeis:A006066">A006066</a> de l'<a href="Encyclop%C3%A9die_en_ligne_des_suites_de_nombres_entiers" title="Encyclopédie en ligne des suites de nombres entiers">OEIS</a>.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Références"><span id="R.C3.A9f.C3.A9rences"></span>Références</h2></div>

<li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-1">↑</a> </span><span class="reference-text"><span class="ouvrage" id="Fujimura1978"><span class="ouvrage" id="Kobon_Fujimura1978"><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> Kobon Fujimura, <cite class="italique" lang="en">The Tokyo Puzzles</cite>, <a href="%C3%89ditions_Scribner" title="Éditions Scribner">Scribner</a>, <time>1978</time> <small style="line-height:1em;">(<a href="International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <span class="nowrap">0-684-15536-2</span>)</small><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=The+Tokyo+Puzzles&rft.pub=Scribner&rft.aulast=Fujimura&rft.aufirst=Kobon&rft.date=1978&rft.isbn=0-684-15536-2&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ATriangle+de+Kobon"></span></span></span>.</span>

</li>

<li id="cite_note-2"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-2">↑</a> </span><span class="reference-text"><span class="ouvrage" id="Gardner1983"><span class="ouvrage" id="Martin_Gardner1983"><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> <a href="Martin_Gardner" title="Martin Gardner">Martin Gardner</a>, <cite class="italique" lang="en">Wheels, Life, and Other Mathematical Amusements</cite>, <a href="W._H._Freeman_and_Company" title="W. H. Freeman and Company">Freeman</a>, <time>1983</time>, 261 <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> <small style="line-height:1em;">(<a href="International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <span class="nowrap">978-0-7167-1589-4</span>)</small>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 170-171 et 178<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Wheels%2C+Life%2C+and+Other+Mathematical+Amusements&rft.pub=Freeman&rft.aulast=Gardner&rft.aufirst=Martin&rft.date=1983&rft.pages=170-171+et+178&rft.tpages=261&rft.isbn=978-0-7167-1589-4&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ATriangle+de+Kobon"></span></span></span>.</span>

</li>

<li id="cite_note-3"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-3">↑</a> </span><span class="reference-text"><span class="ouvrage" id="Eppstein"><span class="ouvrage" id="David_Eppstein"><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> <a href="David_Eppstein" title="David Eppstein">David Eppstein</a>, « <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.ics.uci.edu/~eppstein/junkyard/triangulation.html"><cite style="font-style:normal;" lang="en">The Geometry Junkyard — Triangles and Simplices : Kabon [sic] Triangles</cite></a> », sur <span class="italique"><a href="Universit%C3%A9_de_Californie_%C3%A0_Irvine#Formation" title="Université de Californie à Irvine">Donald Bren School of Information and Computer Sciences</a></span></span></span>.</span>

</li>

<li id="cite_note-4"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-4">↑</a> </span><span class="reference-text"><span class="ouvrage" id="Bader2007"><span class="ouvrage" id="Johannes_Bader2007"><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> Johannes Bader, « <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.tik.ee.ethz.ch/sop/people/baderj/?page=other.php"><cite style="font-style:normal;" lang="en">Kobon Triangles - Proof for Tighter Lower Bound</cite></a> », sur <span class="italique"><a href="ETHZ" class="mw-redirect" title="ETHZ">ETHZ</a></span>, <time class="nowrap" datetime="2007-12-21" data-sort-value="2007-12-21">21 décembre 2007</time></span></span>.</span>

</li>

<li id="cite_note-Grunbaum_1967-5"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-Grunbaum_1967_5-0">↑</a> </span><span class="reference-text"><span class="ouvrage" id="Grünbaum1967"><span class="ouvrage" id="Branko_Grünbaum1967"><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> <a href="Branko_Gr%C3%BCnbaum" title="Branko Grünbaum">Branko Grünbaum</a>, <cite class="italique" lang="en">Convex Polytopes</cite>, Springer, <abbr class="abbr" title="collection">coll.</abbr> « <a href="Graduate_Texts_in_Mathematics" title="Graduate Texts in Mathematics">GTM</a> », <time>1967</time> <small style="line-height:1em;">(<a href="International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <span class="nowrap">978-0-38740409-7</span>)</small><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Convex+Polytopes&rft.pub=Springer&rft.aulast=Gr%C3%BCnbaum&rft.aufirst=Branko&rft.date=1967&rft.isbn=978-0-38740409-7&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ATriangle+de+Kobon"></span></span></span>.</span>

</li>

<li id="cite_note-Honma-6"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-Honma_6-0">↑</a> </span><span class="reference-text"><span class="ouvrage" id="Honma"><span class="ouvrage" id="S._Honma"><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : japonais">(ja)</abbr> S. Honma, « <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/triangle/triangle2.htm"><cite style="font-style:normal;" lang="ja">三角形の最大数</cite></a> » [« nombre maximal de triangles »]</span></span>.</span>

</li>

<li id="cite_note-Kabanovitch_1999-7"><span class="reference-text"><span class="ouvrage" id="Kabanovitch1999"><span class="ouvrage" id="Viatcheslav_Kabanovitch1999"><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : russe">(ru)</abbr> Viatcheslav Kabanovitch, « <cite style="font-style:normal" lang="ru">Тре

угольника Кобона</cite> » [« Triangles de Kobon »], <span class="lang-ru" lang="ru">Шарада</span>, <abbr class="abbr" title="volume">vol.</abbr> 6,‎ <time class="nowrap" datetime="1999-06" data-sort-value="1999-06">juin 1999</time>, <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> <span class="nowrap">1-2</span> <small style="line-height:1em;">(<a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.maa.org/editorial/mathgames/Charade-June1999-p1.gif">lire en ligne</a>)</small><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=%D0%A2%D1%80%D0%B5%0A%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B0+%D0%9A%D0%BE%D0%B1%D0%BE%D0%BD%D0%B0&rft.jtitle=%D0%A8%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%B4%D0%B0&rft.aulast=Kabanovitch&rft.aufirst=Viatcheslav&rft.date=1999-06&rft.volume=6&rft.pages=1-2&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ATriangle+de+Kobon"></span></span></span> (charade, publication du club de puzzle russe <span class="lang-ru" lang="ru">Диоген</span>).</span>

</li>

<li id="cite_note-Suzuki_2005-8"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-Suzuki_2005_8-0">↑</a> </span><span class="reference-text"><span class="ouvrage" id="Weisstein"><span class="ouvrage" id="Eric_W._Weisstein"><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> <a href="Eric_W._Weisstein" title="Eric W. Weisstein">Eric W. Weisstein</a>, « <a rel="nofollow" class="external text" href="http://mathworld.wolfram.com/KobonTriangle.html"><cite style="font-style:normal;" lang="en"><span class="lang-en" lang="en">Kobon Triangle</span></cite></a> », sur <span class="italique"><a href="MathWorld" title="MathWorld">MathWorld</a></span></span></span>, solution communiquée par Toshitaka Suzuki en 2005.</span>

</li>

<li id="cite_note-9"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-9">↑</a> </span><span class="reference-text"><span class="ouvrage" id="Bader2007"><span class="ouvrage" id="Johannes_Bader2007"><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> Johannes Bader, « <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.tik.ee.ethz.ch/sop/people/baderj/?page=other.php"><cite style="font-style:normal;" lang="en">Kobon Triangles - Perfect Solution with 17 lines</cite></a> », sur <span class="italique">ETHZ</span>, <time class="nowrap" datetime="2007-11" data-sort-value="2007-11">novembre 2007</time></span></span>.</span>

</li>

<li id="cite_note-OEIS-10"><span class="reference-text"> Modèle:OEIS link</span>

</li>

</ol></div>

</div>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Voir_aussi">Voir aussi</h2></div>

/* start https://fr.wikipedia.org/ */

.mw-parser-output .autres-projets>.titre{text-align:center;margin:0.2em 0}.mw-parser-output .autres-projets>ul{margin:0;padding:0}.mw-parser-output .autres-projets>ul>li{list-style:none;margin:0.2em 0;text-indent:0;padding-left:24px;min-height:20px;text-align:left;display:block}.mw-parser-output .autres-projets>ul>li>a{font-style:italic}@media(max-width:720px){.mw-parser-output .autres-projets{float:none}}

/* end https://fr.wikipedia.org/ */

</style>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Liens_externes">Liens externes</h3></div>

<p><span class="ouvrage" id="Pegg_Jr.2006"><span class="ouvrage" id=":Ed_Pegg_Jr.2006"><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> Ed Pegg Jr. <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Ed_Pegg_Jr." class="extiw external" title="en:Ed Pegg Jr."><span class="indicateur-langue" title="Article en anglais : « Ed Pegg Jr. »">(en)</span></a>, « <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.mathpuzzle.com/MAA/45-Kobon/mathgames_02_08_06.html"><cite style="font-style:normal;" lang="en">Kobon Triangles</cite></a> », sur <span class="italique">mathpuzzle.com</span>, <time class="nowrap" datetime="2006-02-08" data-sort-value="2006-02-08">8 février 2006</time></span></span>

</p>

<ul id="bandeau-portail" class="bandeau-portail"><li><span class="bandeau-portail-element"><span class="bandeau-portail-icone"><span class="noviewer" typeof="mw:File"></span></span> <span class="bandeau-portail-texte">Portail de la géométrie</span> </span></li> </ul></div><div><div class="zim-footer">

Cet article est issu de <a class="external text" title="Dernière modification le 2025-06-12" href="https://fr.wikipedia.org/wiki/?title=Triangle_de_Kobon&oldid=226443509">Wikipédia</a>. Sauf mention contraire, le texte est disponible sous <a class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.fr">Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0</a>. Des conditions supplémentaires peuvent s’appliquer aux fichiers multimédias.

</div>

</div></div>

</div>

</main>

</div>

</body></html>